🏋️ Exercices supplémentaires

Sur cette page se trouvent des exercices supplémentaires pour vous entraîner. Ils sont classés par niveau de difficulté :

  • Facile : 🍀
  • Moyen : ⚖️
  • Difficile : 🌶️

🍀 Exercice 16 : Résolution d’un système de n équation à n inconnues

Soit un système de n équations linéaires à n inconnues, représenté sous la forme :

$$A \cdot X = B$$

Vous devez écrire un programme en Python qui permet de résoudre ce système d’équations pour trouver les n inconnues. Pour cela, il faudra demander à l’utilisateur de saisir la valeur de n et les coefficients de chacune des n variables pour chacune des n équations ainsi que le résultat de chaque équations. À la fin, le programme doit afficher la valeur de chaque variable arrondie à deux chiffres après la virgule.

Remarque : Il faut également traiter le cas où la matrice \(A\) n’est pas carrée.

Astuces

  • \(A\) est une matrice nĂ—n contenant les coefficients du système.
  • \(X\) est un vecteur colonne contenant les n inconnues.
  • \(B\) est un vecteur colonne contenant les rĂ©sultats des Ă©quations.
  • Cherchez comment faire un produit scalaire et calculer l’inverse d’une matrice avec numpy..

Exemple de résultat attendu :

Si n = 3 et que le système d'équations est le suivant :

$$\begin{cases} 2x + 3y - z = 5 \\ -x + 7y + 2z = 3 \\ 4x - 2y + 5z = -1 \end{cases}$$

Le programme devra afficher :

>> Entrez la valeur de n (nombre d Ă©quations et d inconnues) : 3
>> Entrez les coefficients pour chaque Ă©quation :
>> Coefficient de la variable 1 pour l Ă©quation 1 : 2
>> Coefficient de la variable 2 pour l Ă©quation 1 : 3
>> Coefficient de la variable 3 pour l Ă©quation 1 : -1
>> Coefficient de la variable 1 pour l Ă©quation 2 : -1
>> Coefficient de la variable 2 pour l Ă©quation 2 : 7
>> Coefficient de la variable 3 pour l Ă©quation 2 : 2
>> Coefficient de la variable 1 pour l Ă©quation 3 : 4
>> Coefficient de la variable 2 pour l Ă©quation 3 : -2
>> Coefficient de la variable 3 pour l Ă©quation 3 : 5
>> Entrez les résultats pour chaque équation :
>> RĂ©sultat de l Ă©quation 1 : 5
>> RĂ©sultat de l Ă©quation 2 : 3
>> RĂ©sultat de l Ă©quation 3 : -1
>> Valeur de la variable 1 : 1.00
>> Valeur de la variable 2 : 0.77
>> Valeur de la variable 3 : -0.69

🍀 Exercice 17 : Jeu de la Loterie

Dans ce jeu, un joueur choisit 6 numéros distincts parmi les 49 disponibles. Une fois les numéros choisis, un tirage aléatoire de 6 numéros gagnants est effectué.

Simulez le tirage des 6 numéros gagnants.

Simulez les choix de 1 000 joueurs, chacun choisissant 6 numéros distincts.

Pour chaque joueur, comparez ses numéros avec ceux du tirage gagnant et calculez combien de numéros il a correctement devinés (0, 1, 2, ... 6).

Affichez la probabilité d’obtenir 1, 2, 3, ..., 6 numéros corrects (par exemple, indiquez combien de joueurs parmi les 1000 ont obtenu 1 numéro correct, combien en ont obtenu 2 numéros, etc.)."

Exemple de résultat attendu

>> Numéros gagnants : [6, 11, 21, 33, 38, 47]

>> RĂ©sultats de la loterie :
>> 0 numéros corrects : 43.00%
>> 1 numéros corrects : 41.20%
>> 2 numéros corrects : 13.90%
>> 3 numéros corrects : 1.80%
>> 4 numéros corrects : 0.10%
>> 5 numéros corrects : 0.00%
>> 6 numéros corrects : 0.00%

⚖️ Exercice 18 : Chaîne de Markov simple

Consignes :

Un robot se déplace dans un environnement composé de plusieurs salles, numérotées de 0 à \( n-1 \). Le robot commence dans une salle initiale, et à chaque étape, il choisit sa salle suivante selon les probabilités définies par une matrice de transition \( P \).

La matrice \( P \) est une matrice carrée où chaque ligne \( i \) représente la salle actuelle du robot, et chaque colonne \( j \) contient la probabilité de passer de la salle \( i \) à la salle \( j \).

Données d'entrée :

  1. Matrice de transition \( P \) : Saisie par l'utilisateur, c'est une matrice de taille \( n \times n \). Chaque ligne doit contenir \( n \) probabilités (des nombres flottants entre 0 et 1), et la somme des probabilités sur chaque ligne doit être égale à 1.
  2. Nombre d'étapes de simulation (\( N \)) : Saisi par l'utilisateur, c'est le nombre total de déplacements du robot dans l'environnement.
  3. Nombre d'étapes pour estimer les probabilités stationnaires (\( M \)) : Saisi par l'utilisateur, c'est le nombre de déplacements utilisé pour estimer les probabilités d'être dans chaque salle après un grand nombre d'étapes.

Etapes à réaliser :

Simulation des déplacements :
Simuler le déplacement du robot pendant \( N \) étapes, en choisissant la salle suivante selon les probabilités de la matrice \( P \). Le robot commence dans la salle \( 0 \).

Comptage des visites :
Afficher combien de fois le robot a visité chaque salle pendant les \( N \) étapes de la simulation.

Estimation des probabilités stationnaires :
Simuler un très grand nombre d'étapes (\( M \)) et estimer la probabilité d'être dans chaque salle en calculant la proportion de temps passé dans chaque salle.

Test du programme :
Testez votre programme avec la matrice de transition \( P \) suivante :

$$P = \begin{bmatrix} 0.2 & 0.5 & 0.3 \\ 0.1 & 0.6 & 0.3 \\ 0.4 & 0.3 & 0.3 \end{bmatrix}$$

et \( N = 100 \), le programme doit :

  • Simuler les dĂ©placements du robot pendant 100 Ă©tapes.
  • Afficher combien de fois chaque salle a Ă©tĂ© visitĂ©e.
  • Estimer les probabilitĂ©s stationnaires après \( M = 10,000 \) Ă©tapes.

Exemple de résultat attendu :

>> Entrez la matrice de transition P (les probabilités de transition).
>> Combien de salles (taille de la matrice carrée) ? 3
>> Entrez les 3 lignes de la matrice (avec 3 probabilités chacune) :
>> Ligne 1 : 0.2 0.5 0.3
>> Ligne 2 : 0.1 0.6 0.3
>> Ligne 3 : 0.4 0.3 0.3
>> 
>> Matrice de transition P :
>>  [[0.2 0.5 0.3]
>>  [0.1 0.6 0.3]
>>  [0.4 0.3 0.3]]
>> 
>> Entrez le nombre total d'étapes pour simuler les déplacements : 100
>> 
>> Nombre de visites dans chaque salle après 100 étapes :
>> Salle 0: 29 visites
>> Salle 1: 43 visites
>> Salle 2: 28 visites
>> 
>> Entrez le nombre d'étapes pour estimer les probabilités : 10000
>> 
>> Probabilités stationnaires (après 10000 étapes) :
>> Salle 0: 0.2130
>> Salle 1: 0.4887
>> Salle 2: 0.2983